ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Занятие 2

Теорема Эйлера

 Следующий серьезный шаг в науке о многогранниках был сделан в XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783), который без преувеличения «проверил алгеброй гармонию». Теорема Эйлера о соотношении между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника, доказательство которой Эйлер опубликовал в 1758 г. в «Записках Петербургской академии наук», окончательно навела математический порядок в многообразном мире многогранников.

Вершины + Грани - Рёбра = 2.

Многогранник

Вершины

Грани

Рёбра

Оси симметрии

Плоскости симметрии

Тетраэдр

4

4

6

3

6

Куб

8

6

12

9

9

Октаэдр

6

8

12

9

7

Додекаэдр

20

12

30

15

15

Икосаэдр

12

20

30

15

15

Тела Кеплера - Пуансона 

 

                                                                   О мир, пойми! Певцом - во сне - открыты

Закон звезды и формула цветка!

М. Цветаева

           Если же продлить все грани октаэдра до пересечения их друг с другом, то получится фигура, которую Иоганн Кеплер назвал - "стелла октангула" (продолженным октаэдром). Она встречается и в природе: это так называемый двойной кристалл. Мы вынуждены признать «стеллу октангулу» правильным многогранником: ведь все ее грани - правильные треугольники одинакового размера и все углы между ними равны!

 

                 Что же это - шестое Платоново тело?! Нет, так как эти многогранник не является выпуклым.

Кроме «продолженного октаэдра», необходимо добавить еще четыре многогранника, каждый из которых будет «почти правильным». Все они получаются «озвездыванием» Платонова тела, то есть продлением его граней до пересечения друг с другом, и потому называются звездчатыми. Куб и тетраэдр не порождают новых фигур - грани их, сколько ни продолжай, не пересекаются.

Икосаэдр и додекаэдр дарят миру сразу четыре «почти правильных многогранника». Один из них - малый звездчатый додекаэдр, полученный впервые Иоганном Кеплером.

Кеплер не додумался, что у полученной им фигуры есть двойник. Многогранник, который называется «большой додекаэдр» - построил французский геометр Луи Пуансон спустя   двести лет после кеплеровских звездчатых фигур.  

Большой икосаэдр был впервые описан Луи Пуансон в 1809 году. И опять Кеплер, "увидев" большой звездчатый додекаэдр, честь открытия второй фигуры оставил Луи Пуансону.

Эти фигуры  "наполовину" подчиняются формуле Эйлера.

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ФОНД ПОДГОТОВКИ КАДРОВ. ИНФОРМАТИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ ОБРАЗОВАНИЯ.
Сайт сделан по технологии "Конструктор школьных сайтов".